Álgebra de Boole

Puede que te suene a chino!, pero, ya veras que despues no lo es tanto!:

Nos vamos al diccionario, y buscamos la palabra Algebra:

"Parte de las matemáticas en la cual las operaciones aritméticas son generalizadas empleando números, letras y signos. Cada letra o signo representa simbólicamente un número u otra entidad matemática. Cuando alguno de los signos representa un valor desconocido se llama incógnita"

Ahora, deduciremos la palabra Boole: la palabra Boole, viene de Bool, y si programaste alguna vez, sabrás que un tipo bool solo puede coger dos valores, true o false ( 1 o 0 ) . 

Vale!, entonces, la Álgebra de Boole, es una manera de representar las operaciones que hacemos en la electrónica digital a partir de dos números ( 1 y 0 ) , operaciones, y letras.

Entonces, vamos al trabajo:

En la Álgebra de Boole, podemos encontrar hasta 4 operaciones ( +, ·, -negado, (+) ). El negado, se representa con una guion arriba de la letra/numero. Como esto:


De momento, estudiaremos las 3 primeras: el operador +, el · y el - ( negado )

Antes que nada, tenemos que recordar, que en la electrónica digital, solo existen dos valores: 1 y el 0. Si tenéis esto en mente, seguid leyendo:


El operador +

0 + 0 = 0
0 + 1 = 1
1 + 0 = 1
1 + 1 = 1

Función logica: F = A + B 

Puede que hos sorprenderá el 1 + 1 = 1, si hos sorprende, es que aun no tenéis lo de los dos valores en la mente, y si no hos sorprende, entonces perfecto!

Vale, como podéis observáis, hos podéis fijar que la salida equivale a 1, solo cuando UNO de los valores de la entrada, vale 1

Ponemos con letras:

A + A = A
A + 1 = 1
A + 0 = A

El operador ·

0 · 0 = 0
0 · 1 = 0
1 · 0 = 0
1 · 1 = 1

Función lógica: F = A · B 

Aquí, lo tendríais que ver normal. Si hos fijais, el resultado ( F ) equivale a 1, cuando TODOS los valores de la entrada valen 1.


Ponemos con letras:

A · 0 = 0
A · A = A

El operador - ( negado )

Buscare como se puede representar este signo en la wiki, de momento, pondre -. Pero que sepan, que el signo se representa tal como se abajo.

-1 = 0
-0 = 1

Función lógica: 


Podéis observar varias cosas: que solo necesita un valor, y que cambia a 0 si vale 1, y viceversa.


Propiedades y teoremas del Álgebra de Boole

Propiedades:
1.- Las operaciones + y · son CONMUTATIVAS, es decir: 
A + B = B + A
A · B = B · A

2.- Son DISTRIBUTIVAS

A + ( B · C ) =  ( A + B ) ·  ( A + C)
A · ( B + C ) = A · B + A · C
3.- Elemento neutro:

A + 0 = A
A · 1 = A
4.- Elemento inverso

A + -A = 1
A · -A = 0
Teoremas:

1.- Asociatividad:
A + B + C = ( A+B ) + C = A + ( B+C )
A · B · C = ( A · B ) · C = A · ( B · C )
2.- Idempotencia:
B + B = B
B · B = B
3.- Ley de Absorción
A + A · B = A
A · ( A + B ) = A
4.- Leyes DeMorgan ( muy importante ):
-(A + B) =  -A + -B
-(A·B·C) = -A + -B+ -C

El DeMorgan, voy a describirlo brevemente:

1.- La suma negada ( no los miembros negados, si no todo ) es igual al producto de los miembros negados.
2.- El producto negado ( no los miembros negados, si no todo ), es igual a la suma de los miembros negados

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Con estos teoremas y propiedades, podremos simplificar las funciones lógicas matemáticamente

Las funciones lógicas, son funciones que se expresan en la electrónica digital, y se expresan como las funciones matemáticas normales:
F = A + B

Si es muy larga, podríamos hacer servir estos teoremas o propiedades, para simplificarla, y ahorrarnos un poco de dinero en comprar C.I que hagan lo que queremos, aunque hay alguna otra forma mas simple que te sale como arte de magia, que hablaremos después.



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De momento lo dejo así, si veis algo que no hos acaba de gustar, enviad un MP a WaRc3L. Gracias por leer hasta aqui ;)


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